viernes, 30 de septiembre de 2011

marco antonio diaz (probabilidad)

Probabilidad

Friday, September 30, 2011

Marco Antonio Díaz

INTRODUCCION

La Probabilidad es un concepto muy amplio, que nos ayuda a tomar decisiones acertadas de acuerdo a los sucesos presentados. La probabilidad se encarga de medir la frecuencia con la que se obtiene un resultado en un proceso aleatorio.
Su estudio y aplicación es muy extenso debido a que a mediados del siglo XVII y hasta la fecha se han encontrado grandes aportaciones de personajes, que son de gran utilidad en áreas como la Matemática, Estadística Moderna, Física, Química, Filosofía, Biología, Ingeniera etc. Que aunque no muestre resultado preciso o determinado como se comento con anterioridad, su investigación nos permite incrementar el grado de confianza para tomar una optima decisión.
En este portafolio de evidencias se analizaran ejemplos de algunos tipos de probabilidad como a continuación se detallan.
El primer ejemplo que se analizara será el de la probabilidad de la frecuencia relativa, la presentación de un histograma y la expresión en porcentajes de los casos presentados.
Posteriormente se estudiara un segundo ejemplo donde analizaremos la probabilidad con base en sucesos compuestos.
Además encontraremos la solución al conjunto potencia donde P = { 1,2,3,4 } donde observaremos todas las posibles combinaciones que se puedan dar.
Por último se estudiara la Probabilidad de una diferencia, analizando 3 ejemplos para tener una mejor apreciación de este tema.










I. PROBALIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA

ACTIVIDAD 1
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad llegue hasta los 40, si de acuerdo con una tabla de mortalidad cada 93745 personas de 25 años de edad solo 87426 llegan a los 40 años?
Solución:
Probabilidad S = Numero de veces que el suceso E1 ocurrió = h
Total de sucesos realizados n

Como h = 87426
n = 93745

Probabilidad S = Personas que llegan a los 40 años = 87426
Total de personas de 25 años 93745

= 0.9325











ACTIVIDAD 2
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 25 años de edad llegue hasta los 40 años, si de acuerdo con una tabla de mortalidad cada 93745 personas de 25 años de edad solo 87426 llegan a los 40 años?
R= 87426 / 93745= 0.9325
La probabilidad es de un 0.9325

ACTIVIDAD 3
ELABORACION DE UN HISTOGRAMA CONSIDERANDO LAS ESTATURAS DE LOS ALUMNOS DE LA LIC. EN MATEMATICA EDUCATIVA.
ESTATURAS
ni
156
1
157
1
158
2
160
1
165
2
168
1
169
1
170
1
172
1
174
1
180
1
Totales
13


Amplitud del rango
180 – 156 = 24
= 3.6 = 4
24/ 4 = 6
Intervalo
mi
ni
fi
Ni
Fi
156 – 162
159
5
5/ 13 = 0.384
5
5/ 13 = 0.384
162 – 168
165
2
2/ 13 = 0.153
7
7/ 13 = 0.538
168 – 174
171
4
4/ 13 = 0.307
11
11/13=0.846
174 – 180
177
1
1/ 13 = 0.076
12
12/13=0.923
180 – 186
183
1
1/ 13 = 0.076
13
13/13=1
Total

13







II. PROBABILIDAD CON BASE EN LOS SUCESOS COMPUESTOS. (PROBABILIDAD AXIOMATICA)

ACTIVIDAD 1
1. Para participar en la rifa de un reloj, los alumnos de primer año compraron 18 boletos y los de segundo grado 12 boletos. ¿Cual es la probabilidad de que un alumno de primero o segundo gane la rifa? Se imprimieron 50 boletos.

Solución:

A: Un alumno de primer grado gana el premio.
B: Un alumno de segundo grado gana el premio

El suceso que nos interesa es E= A y B son mutuamente excluyentes, es decir, A ᴖ B = Ø

P (A o B) = P (A) + P (B) = 18/50 + 12/50 = 30/50 = 3/5 = 0.6
= 60




ACTIVIDAD 2

La tabla siguiente muestra el nivel de estudios de los profesores de una escuela.

Escuela Nacional de Maestros
Escuela Normal Superior
Escuela Normal Privada
Especialización en la Universidad Pedagógica Nacional


Hombre


Mujer
M1
X


X

X
M2
X
X

X

X
M3

X
X


X
M4
X




X
M5
X


X

X
M6
X
X

X

X
M7


X
X

X
M8
X




X







H1

X
X
X
X

H2
X


X
X

H3
X



X

H4
X
X

X
X

H5
X



X

H6


X
X
X

H7
X
X

X
X

H8


X

X

H9
X


X
X

H10


X
X
X

18
12
6
6
12
10
8


¿Cual es la probabilidad de que un alumno le toque un profesor egresado de la Escuela Nacional de Maestros o que tenga una especialización en la Universidad Pedagógica Nacional?
Solución:
A: Profesor egresado de la Escuela Nacional de Maestros
B: Profesor egresado de la Universidad Pedagógica Nacional
A ᴖ B ≠ Ø Dado que hay docentes que son egresados de ambas instituciones. Los sucesos no son mutuamente excluyentes.
Entonces:
P (A o B) = P (A) + P (B) – P (A ᴖ B)
= 12/18 + 12/18 – 8/18 = 16/18 = 0.8888
= 88.88 %



ACTIVIDAD 3

1. DADO EL CONJUNTO S= {1, 2,3,4}, DETERMINA CUALES SUBCONJUNTOS SE PUEDEN FORMAR.

SOLUCION:

P {S}= { }, {1}, { 2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {3,2,4}, {4,3,1}, {1,2,3,4}.



III. PROBABILIDAD DE UNA DIFERENCIA

La probabilidad de una diferencia se aplica cuando se quiere obtener la probabilidad de que un suceso determinado ocurra y que simultáneamente otro suceso, también determinado, no ocurra.
Se expresión así:
P (A – B) = P (A) – P (A ᴖ B)

Esta relación se conoce como ley general de sustracción de probabilidades. También se utilizan las relaciones:
P ( A – B ) = P ( A ) – P ( A B ) = P ( A´ B ) = P ( B A ) ( 1 )
P (A – B) = P (A) – P (A B) (2)
P (A´) – P (A´ B) = P (A´ B´) = P (A´ - B) (3)


ACTIVIDAD 1

En una urna hay pelotas rojas numeradas del 1 al 10 y pelotas azules numeradas del 1 al 5. ¿Cual es la probabilidad de que al extraer al azar una pelota sea roja y no tenga el numero 5?

Solución:
A: Se extrae pelota roja
B: Sale el numero 5
El suceso que nos interesa es A – B. Aplicamos la relación:
P (A – B) = P (A) – P (A ᴖ B)
Con
P (A) = 10/15
P (A ᴖ B) = 1/15
Porque solo hay una pelota roja marcada con el número 5 del total de las 15 pelotas.
Por lo tanto:
P (A – B) = 10/15 – 1/15 = 9/15
= 0.6000
= 60%






Otro procedimiento para resolver este problema es revisando la probabilidad como frecuencia relativa, así:
Solución:

Espacio maestral

S = { R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,A1,A2,A3,A4,A5, } son 15 sucesos
A = La pelota es roja y no es el numero 5
A = { R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10, } son 9 ( no está R5 )
P (A) = Casos favorables = 9 = 0.60 = 60 % es el mismo resultado
Casos posibles 15

El resultado que obtuvimos con P (A ᴖ B) = P (A). P (B) = 1/15
También lo podemos obtener con las siguientes relaciones:
P (A – B) = P (A B´) = P (B´ A)


ACTIVIDAD 2

La probabilidad de que Antonio gane un juego de tenis es de 2/5 y la probabilidad de que Juan gane es de 1/4 ¿Cual es la probabilidad de que Antonio gane el torneo en que participa si en el juego final se enfrenta a Juan?

Solución:
A: Gane Antonio
B: gane Juan

El suceso que nos interesa es que gane Antonio y simultáneamente que Juan pierda. Por tanto, aplicamos la siguiente relación:
P (A – B) = P (A) – P (A ᴖ B). Con P (A) = 2/5, ahora es necesario calcular P (A B)
Como A y B son sucesos dependientes aplicamos la siguiente relación:
P (A ᴖ B) = P (A y B) = P (A). P (B)
= 2/5(1/4) = 2/20
P (A – B) = P (A) – P (A B)
= 2/5 – 2/20 = 8 – 2 = 6/20 = 0.3
20
= 30%
Otro procedimiento para resolver este problema consiste en aplicar la siguiente relación:
P (A – B) = P (A) – P (A B) = P (A B´)
P (A – B) = P (A B ´)
Con
P (A) = 2/5
P (B´) = 1 – 1/4 = 4/4 – 1/4 = 3/4
Sustituimos en:
P (A – B) = P (A ᴖ B´)
= P (A). (B)
= (2/5) (3/4) = 6/20 = 0.3
= 30 %


ACTIVIDAD 3

A y B son sucesos donde:

P(A) = 3/4
P (B) = 3/8

P (A ᴖ B) = P (BᴖA) = 1/8

Calcular:

a) P (A´ ᴖ B)
b) P (A ᴖ B´)
c) P (A u B)
d) P (A´ ᴖ B´)

Solución:

Recordando las relaciones de la probabilidad de una diferencia tenemos:
P (A - B) = P(A) – P (A ᴖ B) (1)
P (A - B) = P (A B´) – P (B´ A) (2)

a) De (2) intercambiamos A y B:

P (B - A) = P (B A´) – P (A´ B) (3)
De (1) intercambiamos A y B:
P (B - A) = P (B) – P (A ᴖ B)
De (3) y (4):
P (A´ ᴖ B) = P (B) – P (A ᴖ B)
= 3/8 – 1/8 = 2/8 = 1/4 (5)

b) De (2) P (A - B) = P (A ᴖ B´)
De (1) P (A -B) = P(A) – P (A ᴖ B)
Entonces:
P (A B´) = P (A) – P (A B)
= 3/4 – 1/8 = 5/8 (6)

c) Sustituimos A por A´ en (2):
P (A´ - B) = P (A´ ᴖ B´) (7)
Sustituimos A por A´ en (1):
P (A´ - B) = P (A´) – P (A´ ᴖ B) (8)

De (7) Y (8) obtenemos:
P (A´ B´) = P (A´) – P (A´ B) (9)
P (A´) = 1 – P (A) = 1 – 3/4 = 1/4 (10)

De sustituir (5) y (10) en (9) obtenemos:

P (A´ ᴖ B´) = 1/4 – 1/4 =0 (11)


d) P (A´ u B) = P (A´) + P (B) – P (A´ ᴖ B) (12)

Sustituyendo (10) y (5) en (12) tenemos:

P (A´ u B) = 1/4 + 3/8 – 1/4 = 3/8


























CONCLUSION



Se concluye que la probabilidad es universal y que desde tiempos atrás hasta la actualidad a evolucionado a pasos agigantados, está presente en las diferentes actividades que día a día realizamos por ejemplo: juegos de azar, es decir al lanzar una moneda, un dado, en un juego de lotería, etc.; gracias a estos resultados obtenidos podemos predecir lo que se quiera lograr, su influencia también se ve reflejada en ciencias como la Matematica, Estadistica, Filosofia, Quimica, etc. Ya que atra ves de la medición de la frecuencia de los distintos resultados presentados en los experimento aleatorios, se pueden tomar decisiones más eficaces y acertadas para el logro de objetivos planteados.











Marco Antonio

martes, 27 de septiembre de 2011